기저 벡터를 활용한 변환 행렬 만드는 방법

기본적으로 기저 벡터를 사용해서 변형 행렬을 만들 수 있습니다. 기저 벡터는 세 개의 기저 축으로 구성되며 흔히 우리가 사용하는 3개의 축은 X, Y, Z가 있습니다. 여기서는 설명을 위해 2차원 좌표계로 설명합니다.

예를 들어 위 x, y 벡터를 기준으로 하는 좌표계 하나, 그리고 파란색 2개의 벡터를 기준으로하는 좌표계가 하나 있다고 가정합니다.

위 파란색 좌표계는 검은색 좌표계에서 약 45도 회전한 좌표계 입니다. 우리는 필요에 따라 검은 좌표계 영역에서 파란색 좌표계로 이동하거나, 파란색 좌표계에서 검은색 좌표계로 이동할 수 있는 행렬을 만드는 것이 주요 목표입니다.

만약 파란색 좌표계를 각각 <h, j> 라고 하고, 검은색 좌표계를 <x, y>라고 할 때 한 점 벡터가 있을 때 이 좌표는 좌표계는 다르지만 지점은 같은 위치에 존재합니다.

즉 위 상황에서 두 점은 현실적으로 같은 위치를 나타내므로 각 좌표계 기저 벡터를 사용해서 관계 식을 선언할 수 있습니다.

이 때 x, y 기저와 h,i 기저는 직접 정의한 기저이기 때문에 기저의 벡터 구성 요소를 모두 알고 있는 상태입니다. x는 <1, 0> 벡터, y는 <0, 1> 벡터, h는 <0.7, 0.7> 벡터, i는 <-0.7, 0.7> 벡터로 정의했기 때문에, 각 표현식은 결과적으로 메인 좌표계인 x, y 의 식으로 나타낼 수 있습니다.

즉 이를 행렬식으로 나타내면 위와 같습니다. 이를 최종적으로 정리하면 점 (l, m)에 대한 식이 완성됩니다. 즉 x,y 좌표계에 존재하는 점 l, m 을 구하기 위해 h, i 좌표계에 존재하는 j, k 넣으면 됩니다. 즉 위 식은 <h,i> 좌표계에 대해서 <x,y> 좌표계로 변환할 수 있는 식이 되는 것입니다.

위 식을 완전히 행렬 하나 식으로 나타내면

위와 같다.

즉 위 행렬을 곱해서 넘기면 (l, m) 좌표가 나옵니다. 한편, 아까 위 식을 연립으로 풀어내어 j, k에 대한 식으로 나타낼 수도 있는데,

<x,y> 공간의 좌표계인 (l,m)에 대해서 <h,i> 공간의 좌표계인 <j,k>를 구할 수 있게 됩니다. 즉 일반<x,y> 좌표계에서 <h,i> 공간으로 이동할 수 있는 변환 행렬이 완성됩니다.

이 때 위 행렬은 역행렬 관계이며, <x,y> -> <h,i> 와 <h,i> -> <x,y> 좌표계 간의 행렬은 서로 역행렬의 관계에 있습니다.

3D 그래픽스에서 카메라 좌표계를 위한 매트릭스에서, 위 예시로 따지면 기존 <x,y> 공간에서 <h,i> 의 공간으로 이동하기 위해 <h, i>의 좌표계를 행렬 아래에 순서대로 넣어두고 역행렬을 구하면 됩니다. 즉 순서대로 넣어둔 행렬은 해당하는 <h,i>좌표점에서 <x,y> 좌표계로 올 수 있는 행렬이고, 역행렬이 비로소 <x,y> 를 대상 좌표계인 <h,i>로 이동할 수 있는 행렬입니다.

즉, 역행렬을 구하지 않은 상태에서는 대상 좌표계<h,i> 에서 <x,y>로 올 수 있는 행렬인데, 여기서 h, i를 넣지 않고 x,y 를 다시 넣게 되면 해당 좌표계 <h,i>가 회전된 크기만큼 추가로 회전된 (x,y)를 얻을 수 있게 되므로 billboard matrix 등으로 적합합니다.